Resumo de probabilidade: espaço amostral, eventos e as regras que caem na prova
Por Tomás Rezende 10 min de leitura
Em 30 segundos
Probabilidade é a medida da chance de um resultado, num intervalo que vai de 0, impossível, a 1, certo. Quando todos os resultados possíveis têm a mesma chance, basta dividir a quantidade de casos favoráveis pela quantidade de casos possíveis. O conjunto de todos os resultados possíveis chama-se espaço amostral, e qualquer subconjunto dele é um evento. A partir daí, três regras resolvem quase tudo o que a prova pede: a do evento complementar, que calcula o contrário quando ele é mais fácil; a da união, que soma duas probabilidades e desconta o que foi contado duas vezes; e a do produto, que multiplica quando dois acontecimentos ocorrem em sequência. Quando o primeiro resultado muda as condições do segundo, a probabilidade passa a ser condicional.
O que a probabilidade mede
Probabilidade é a linguagem que a matemática usa para falar do que ainda não aconteceu. Ela não elimina a incerteza; organiza a incerteza em número.
Todo resultado recebe um valor entre 0 e 1. Zero é o impossível, um é o certo, e tudo o que interessa acontece no meio. Em porcentagem, o mesmo intervalo vai de 0% a 100%.
A soma das probabilidades de todos os resultados possíveis de um experimento é sempre igual a 1. Essa frase parece decorativa e é a mais útil de todas: é dela que saem os atalhos.
Espaço amostral e evento
Antes de calcular qualquer coisa, é preciso listar o que pode acontecer.
- Experimento aleatório: aquele cujo resultado não se sabe de antemão, mesmo conhecendo as condições. Lançar um dado, sortear um nome, tirar uma carta.
- Espaço amostral: o conjunto de todos os resultados possíveis. No lançamento de um dado, seis resultados.
- Evento: qualquer subconjunto do espaço amostral. Sair número par é um evento com três elementos.
O erro mais caro de uma questão de probabilidade quase sempre acontece aqui, antes da conta. Ao lançar duas moedas, por exemplo, muita gente escreve três resultados: duas caras, duas coroas, uma de cada. Mas uma de cada acontece de duas maneiras, cara e coroa ou coroa e cara, e o espaço amostral correto tem quatro elementos.
A regra básica
Quando todos os resultados do espaço amostral têm a mesma chance:
P(A) = número de casos favoráveis / número de casos possíveis
Num dado comum, a probabilidade de sair um número maior que 4 é 2/6, porque só 5 e 6 servem. Simplificando, 1/3, ou aproximadamente 33,3%.
A condição de todos os casos terem a mesma chance é indispensável. Num dado viciado a fórmula não vale, e o enunciado precisa informar as chances de outro jeito.
O complementar, que é o caminho curto
O evento complementar de A é o evento que ocorre exatamente quando A não ocorre. Como um dos dois precisa acontecer:
P(A) + P(não A) = 1, logo P(A) = 1 menos P(não A)
Isso transforma questões difíceis em questões fáceis. Sempre que o enunciado disser pelo menos um, calcule a chance de nenhum e subtraia de 1.
Exemplo: em três lançamentos de moeda, qual a chance de sair pelo menos uma cara? Listar todos os casos favoráveis dá trabalho. O contrário é imediato: nenhuma cara significa três coroas, com probabilidade 1/2 vezes 1/2 vezes 1/2, igual a 1/8. A resposta é 1 menos 1/8, ou seja, 7/8.
União: quando somar e quanto descontar
Para calcular a chance de A ou B:
P(A ou B) = P(A) + P(B) menos P(A e B)
A subtração existe porque os casos que servem aos dois eventos foram contados duas vezes na soma.
Quando os eventos não podem ocorrer juntos, chamados de mutuamente exclusivos, a interseção é zero e a fórmula fica só a soma. Sair 2 ou sair 5 num único lançamento são exclusivos. Sair par ou sair maior que 3 não são: o 4 e o 6 pertencem aos dois.
Interseção: quando multiplicar
Para calcular a chance de A e B, ou seja, dos dois acontecerem:
P(A e B) = P(A) vezes P(B), se os eventos forem independentes
Independentes são eventos em que o resultado de um não interfere na probabilidade do outro. Dois lançamentos de dado, duas moedas, duas retiradas com reposição.
A chance de tirar dois seis seguidos é 1/6 vezes 1/6, igual a 1/36.
Probabilidade condicional
Quando o primeiro resultado muda as condições do segundo, a multiplicação continua valendo, mas a segunda probabilidade já é calculada dentro da nova situação.
P(A e B) = P(A) vezes P(B dado A)
A notação P(B | A) lê-se probabilidade de B dado A, e significa a chance de B considerando que A já ocorreu. Isoladamente:
P(B | A) = P(A e B) / P(A)
Numa urna com 10 bolas, sendo 3 vermelhas, retirando duas sem reposição:
- primeira vermelha: 3/10;
- segunda vermelha, sabendo que uma já saiu: 2/9, porque restam 9 bolas e 2 vermelhas;
- as duas vermelhas: 3/10 vezes 2/9, que dá 6/90, ou 1/15.
Com reposição, a bola volta, o denominador não muda e a conta seria 3/10 vezes 3/10.
Contagem, que vem antes da probabilidade
Em muitas questões, o trabalho de verdade é contar os casos. O princípio multiplicativo resolve a maioria: se uma etapa tem m resultados e a seguinte tem n, o conjunto das duas tem m vezes n resultados.
Ao lançar dois dados, o espaço amostral tem 6 vezes 6, ou seja, 36 pares ordenados. É por isso que a soma 7 é a mais provável: ela acontece de seis maneiras, enquanto a soma 2 acontece de uma só.
| Soma | Maneiras de obter | Probabilidade |
|---|---|---|
| 2 | 1 | 1/36 |
| 7 | 6 | 6/36, ou 1/6 |
| 12 | 1 | 1/36 |
Um roteiro para a prova
- Escreva o espaço amostral, ou pelo menos o seu tamanho. Sem isso não há conta correta.
- Procure a palavra-chave. Pelo menos pede complementar; ou pede união; e pede produto; sabendo que pede condicional.
- Veja se há reposição. Ela decide se o denominador muda.
- Confira o resultado. Se der mais que 1 ou menos que 0, o erro é de método, não de conta.
Onde a intuição costuma atrapalhar
Boa parte dos erros em probabilidade não vem de conta errada, vem de uma sensação convincente e falsa sobre o acaso. As duas mais comuns são acreditar que um resultado repetido fica devendo o contrário, e achar que um acontecimento raro deixa de ser raro depois que a gente pensa nele. Nos dois casos, a conta é curta e a intuição é longa. Confie na conta.
O que costuma cair
- Montar corretamente o espaço amostral antes de calcular qualquer coisa, inclusive em lançamentos sucessivos.
- A regra do evento complementar, que é o caminho curto das questões com a expressão pelo menos um.
- A diferença entre eventos mutuamente exclusivos e eventos independentes, que a prova mistura de propósito.
- A fórmula da união, com o desconto da interseção quando os eventos podem ocorrer juntos.
- Probabilidade condicional e a leitura correta do enunciado quando ele informa que algo já aconteceu.
- Retiradas com e sem reposição, que mudam o denominador da segunda etapa.
Onde quase todo mundo erra
Deu cara cinco vezes seguidas, então agora é mais provável sair coroa
A moeda não guarda memória do que saiu antes. Em cada lançamento a probabilidade continua sendo um meio, independentemente do histórico. O que existe de verdadeiro por trás dessa intuição é outra coisa: sequências muito longas de um mesmo resultado são raras quando olhadas antes de começar. Depois que cinco caras já saíram, elas deixaram de ser previsão e viraram fato consumado.
A probabilidade de A ou B é sempre a soma das duas
Só é soma direta quando os eventos não podem acontecer ao mesmo tempo. Se puderem, a interseção entra duas vezes na conta e precisa ser descontada uma: P(A ou B) = P(A) + P(B) menos P(A e B). Num baralho, a chance de tirar uma carta de copas ou uma dama não é 13/52 mais 4/52, porque a dama de copas foi contada nas duas parcelas.
Eventos independentes são aqueles que não podem ocorrer juntos
É o contrário disso. Independentes são eventos em que um não altera a probabilidade do outro, e justamente por isso eles podem ocorrer juntos, com probabilidade igual ao produto das duas. Eventos que não podem ocorrer juntos chamam-se mutuamente exclusivos, e são fortemente dependentes: saber que um ocorreu reduz a zero a chance do outro.
Chance de 1 em 4 quer dizer que a cada quatro tentativas acontece exatamente uma vez
A probabilidade descreve a tendência em muitas repetições, e não uma cota a ser cumprida em cada bloco de quatro. É perfeitamente possível jogar quatro vezes e não acertar nenhuma, ou acertar duas. Quanto maior o número de repetições, mais a proporção observada tende a se aproximar de um quarto, e essa aproximação é o único compromisso que a probabilidade assume.
A probabilidade de A dado B é a mesma coisa que a de B dado A
São perguntas diferentes e costumam ter respostas bem diferentes. A chance de alguém ser jogador profissional de basquete sabendo que tem mais de dois metros de altura não é igual à chance de alguém ter mais de dois metros sabendo que é jogador profissional. A segunda é altíssima, a primeira é pequena, porque há muito mais gente alta do que gente na NBA.
Numa retirada sem reposição, a segunda probabilidade continua com o mesmo denominador
Se a primeira bola não voltou para a urna, o total diminuiu em uma unidade e, se ela era da cor procurada, a quantidade favorável também. Em dez bolas com três vermelhas, a chance de duas vermelhas seguidas sem reposição é 3/10 vezes 2/9, e não 3/10 vezes 3/10. A palavra reposição no enunciado nunca é enfeite.
Cards de revisão
7 perguntas
- O que é espaço amostral?
- O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. No lançamento de um dado, é o conjunto de 1 a 6.
- Como se calcula a probabilidade quando os casos são igualmente prováveis?
- Dividindo o número de casos favoráveis ao evento pelo número total de casos possíveis.
- O que é evento complementar?
- O evento que ocorre exatamente quando o outro não ocorre. As probabilidades dos dois somam 1.
- Qual é a fórmula da união de dois eventos?
- P(A ou B) = P(A) + P(B) menos P(A e B). A subtração só some quando os eventos não podem ocorrer juntos.
- Quando dois eventos são independentes?
- Quando a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro. Nesse caso, P(A e B) é o produto das duas probabilidades.
- O que é probabilidade condicional?
- A probabilidade de um evento calculada depois de se saber que outro ocorreu. É a probabilidade da interseção dividida pela probabilidade da condição.
- Qual é a chance de sair pelo menos uma cara em três lançamentos?
- Sete oitavos. Calcula-se pelo complementar: a chance de nenhuma cara é um meio elevado ao cubo, que dá um oitavo.
Tomás Rezende
Resumos de matemática, física e química
Escreve os resumos das ciências exatas, sempre explicando o sentido de cada fórmula antes da conta. Resolve cada exemplo do zero antes de escrever sobre ele e anota em que ponto a conta costuma travar. É ali que entra a armadilha de cada resumo.