Resumo de função do 2º grau
Por Tomás Rezende 10 min de leitura
Em 30 segundos
Função do 2º grau é toda função da forma f(x) = ax² + bx + c, com a diferente de zero, e seu gráfico é sempre uma parábola. O sinal de a decide a abertura: para cima quando a é positivo, com um ponto de mínimo; para baixo quando a é negativo, com um ponto de máximo. O número c é onde a parábola corta o eixo y. As raízes, os pontos onde ela corta o eixo x, dependem do discriminante Δ = b² − 4ac: com Δ positivo há duas raízes reais, com Δ igual a zero há uma, e com Δ negativo não há raiz real. O vértice fica em xv = −b/2a, e o valor máximo ou mínimo da função é yv = −Δ/4a. É esse vértice que resolve quase todo problema de otimização.
O que é, e por que o gráfico é uma curva
Uma função do 2º grau, também chamada de função quadrática, é toda função que pode ser escrita como
f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0.
Os números a, b e c são os coeficientes. A exigência de que a seja diferente de zero não é detalhe: se a fosse zero, o termo x² desapareceria e a função seria do 1º grau, com gráfico em linha reta.
É o termo x² que curva o gráfico. Quando x cresce, x² cresce muito mais depressa, e os valores positivos e negativos de x produzem o mesmo x². O resultado é uma curva simétrica, a parábola.
O que cada coeficiente diz
Antes de qualquer conta, dá para extrair muita informação só olhando os coeficientes.
| Coeficiente | O que informa |
|---|---|
| a | A concavidade: positivo abre para cima, negativo abre para baixo. Quanto maior o valor absoluto, mais fechada a parábola |
| c | Onde a parábola corta o eixo y, no ponto (0, c) |
| b | Junto com a, a posição do eixo de simetria. Também indica se a parábola sobe ou desce ao cruzar o eixo y |
O eixo de simetria é a reta vertical que passa pelo vértice. Tudo o que acontece de um lado dele acontece espelhado do outro.
As raízes e o discriminante
As raízes ou zeros da função são os valores de x para os quais f(x) = 0. No gráfico, são os pontos onde a parábola corta o eixo x.
Para encontrá-las, resolve-se a equação ax² + bx + c = 0. O primeiro passo é calcular o discriminante:
Δ = b² − 4ac
O sinal do delta decide quantas raízes reais existem:
- Δ > 0: duas raízes reais diferentes. A parábola corta o eixo x em dois pontos.
- Δ = 0: uma raiz real, às vezes chamada de raiz dupla. A parábola apenas toca o eixo x, no vértice.
- Δ < 0: nenhuma raiz real. A parábola fica inteira acima ou inteira abaixo do eixo x.
Quando há raízes, elas saem da fórmula:
x = (−b ± √Δ) / 2a
O sinal de mais dá uma raiz, o de menos dá a outra.
Um exemplo completo
Considere f(x) = x² − 6x + 8.
- Coeficientes: a = 1, b = −6, c = 8.
- Delta: (−6)² − 4·1·8 = 36 − 32 = 4.
- Raízes: x = (6 ± 2) / 2, que dá x = 4 ou x = 2.
- Como a = 1 é positivo, a parábola abre para cima.
- Corte no eixo y: (0, 8).
Soma e produto
Às vezes a questão pede algo sobre as raízes sem exigir que sejam calculadas. Duas relações ajudam:
- soma das raízes = −b/a
- produto das raízes = c/a
No exemplo acima, a soma é 6 e o produto é 8, o que confere com 2 + 4 e 2 · 4.
O vértice: onde está o máximo ou o mínimo
O vértice é o ponto de virada da parábola. Se ela abre para cima, é o ponto mais baixo, o mínimo. Se abre para baixo, é o ponto mais alto, o máximo.
As coordenadas são:
xv = −b / 2a yv = −Δ / 4a
Também dá para calcular yv substituindo xv na própria função, o que costuma ser mais seguro em prova.
No exemplo, xv = 6 / 2 = 3 e yv = f(3) = 9 − 18 + 8 = −1. O vértice é (3, −1), e como a parábola abre para cima, −1 é o menor valor que a função assume.
Um jeito rápido de conferir: o xv fica exatamente no meio das duas raízes. Entre 2 e 4, o meio é 3.
Estudo do sinal
Estudar o sinal é descobrir para quais valores de x a função é positiva, negativa ou nula. Basta combinar concavidade e raízes.
Para f(x) = x² − 6x + 8, que abre para cima e tem raízes 2 e 4:
- f(x) > 0 para x < 2 ou x > 4, fora das raízes;
- f(x) = 0 para x = 2 ou x = 4;
- f(x) < 0 para 2 < x < 4, entre as raízes.
A regra que ajuda a memorizar: com a positivo, a função tem o sinal de a fora das raízes e o sinal contrário entre elas. Com a negativo, é o oposto. Quando Δ é negativo, a função tem sempre o sinal de a.
Como aparece em problema
A função do 2º grau é a ferramenta natural de problemas em que uma grandeza cresce, atinge um ponto ótimo e depois diminui.
Lançamento de objeto. A altura de uma bola ao longo do tempo é descrita por uma função com a negativo. O vértice dá a altura máxima e o instante em que ela acontece. As raízes dão o momento de lançamento e o de volta ao chão.
Área máxima. Com uma quantidade fixa de cerca, qual retângulo tem a maior área? Escrevendo a área em função de um dos lados, aparece uma função do 2º grau, e o vértice dá a resposta.
Lucro máximo. Receita menos custo, em muitos modelos simples, vira uma função com a negativo. O xv é a quantidade ideal a produzir ou o preço ideal a cobrar; o yv é o lucro máximo.
Nesses problemas, a pergunta mais importante é qual das duas coordenadas se quer: onde o ótimo acontece, que é xv, ou quanto vale o ótimo, que é yv.
Como ler a parábola num gráfico
Muitas questões mostram o gráfico e pedem informações sobre a lei da função. Um roteiro curto:
- Abertura para cima ou para baixo dá o sinal de a.
- Corte no eixo y dá o valor de c.
- Cortes no eixo x dão as raízes; se não há corte, Δ é negativo.
- Ponto de virada dá o vértice, e com ele o máximo ou mínimo.
Como cair bem numa prova de função do 2º grau
Anote a, b e c com sinal antes de tudo. A maior parte dos erros vem de um sinal perdido no b.
Use parênteses no b². (−6)² é 36; sem parênteses, a calculadora e o cansaço transformam em −36.
Leia o que a pergunta quer. Raiz, vértice, máximo ou sinal são respostas diferentes para a mesma função.
O que costuma cair
- A relação entre o sinal de a, a concavidade da parábola e a existência de máximo ou mínimo.
- O papel do discriminante na quantidade de raízes reais e o cálculo das raízes.
- O cálculo do vértice e sua interpretação como valor máximo ou mínimo em problemas.
- A leitura de gráfico: identificar a, c, raízes e vértice a partir da parábola desenhada.
- O estudo do sinal da função, isto é, para quais valores de x ela é positiva ou negativa.
Onde quase todo mundo erra
Quando o delta dá negativo, a questão está errada ou não tem resposta
Delta negativo significa apenas que a equação não tem raízes reais: a parábola não toca o eixo x. A função existe normalmente, tem vértice, tem valores e pode ser toda positiva ou toda negativa. Em muitos problemas, é justamente essa informação que a questão quer, por exemplo para garantir que uma expressão nunca se anule.
O número c é uma das raízes da função
O termo independente c é o valor da função quando x vale zero, então é o ponto onde a parábola corta o eixo vertical, o eixo y. As raízes são os pontos de corte com o eixo horizontal. Confundir os dois eixos é um dos erros mais frequentes na leitura de gráfico.
O valor máximo da função é o xv
O xv diz em que ponto o máximo ou o mínimo acontece; o valor em si é o yv. Num problema de lucro, xv é a quantidade que deve ser vendida e yv é o lucro máximo. Muitas alternativas trazem as duas respostas, e a pergunta decide qual delas se quer: onde ou quanto.
Na fórmula do delta, b ao quadrado de um b negativo dá negativo
Qualquer número real elevado ao quadrado dá resultado maior ou igual a zero. Se b vale −4, b² vale 16. O erro aparece quando se digita ou escreve −4² sem parênteses, o que se lê como −16. Com o sinal certo no b², o restante do cálculo costuma sair sem problema.
Se a é positivo, a função só assume valores positivos
O sinal de a diz para onde a parábola abre, não se ela fica acima do eixo. Uma parábola aberta para cima pode ter o vértice abaixo do eixo x e ser negativa entre as raízes. Para saber onde a função é positiva ou negativa, é preciso fazer o estudo do sinal: olhar a concavidade e as raízes juntas.
Cards de revisão
6 perguntas
- Qual é a forma geral da função do 2º grau?
- f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c números reais e a diferente de zero.
- O que o sinal de a informa?
- A concavidade. Com a positivo, a parábola abre para cima e tem mínimo; com a negativo, abre para baixo e tem máximo.
- Quantas raízes reais há conforme o delta?
- Delta positivo, duas raízes distintas; delta igual a zero, uma raiz; delta negativo, nenhuma raiz real.
- Qual é a fórmula das raízes?
- x = (−b ± √Δ) / 2a, conhecida no Brasil como fórmula de Bhaskara.
- Como se calcula a soma e o produto das raízes?
- Soma igual a −b/a e produto igual a c/a.
- Onde a parábola corta o eixo y?
- No ponto (0, c), porque quando x vale zero a função vale c.
Tomás Rezende
Resumos de matemática, física e química
Escreve os resumos das ciências exatas, sempre explicando o sentido de cada fórmula antes da conta. Resolve cada exemplo do zero antes de escrever sobre ele e anota em que ponto a conta costuma travar. É ali que entra a armadilha de cada resumo.